Social Network Analysis - 4th Lec
社会网络分析课程笔记 - 第4周
1. 小世界网络 (Small Worlds)
1.1 小世界现象
- 小世界现象：指的是在社交网络中，虽然每个人只认识有限的人，但通过这些有限的连接，任何两个人之间的路径长度通常很短。
- 六度分隔理论：由Frigyes Karinthy在1929年提出，Stanley Milgram在1967年通过实验验证了这一理论。实验表明，通过熟人传递信件，平均需要6步就能将信件传递到目标人物。
1.2 小世界网络的特征
- 短平均路径长度：网络中任意两个节点之间的平均路径长度较短。
- 高聚类系数：网络中的节点倾向于形成紧密的群体，即“朋友的朋友也是朋友”。
- 低密度：网络中的连接相对稀疏。
1.3 小世界网络模型
- Watts-Strogatz模型：通过引入随机连接（“捷径”）来模拟小世界网络。模型从高度规则的网络开始，逐步增加随机性，直到达到随机网络。
- Kasturirangan模型：通过引入“经纪人”角色来模拟小世界网络，经纪人连接不同的群体，从而缩短路径长度。
1.4 小世界网络的应用
- 创新扩散：小世界网络有助于快速传播信息和创新。
- 社会影响：在小世界网络中，社会规范、意见等可以迅速传播。
- 传染病传播：小世界网络可以解释传染病的快速传播。
2. 无标度网络 (Scale-Free Networks)
2.1 无标度网络的特征
- 幂律分布：无标度网络的度分布遵循幂律分布，即大部分节点的度数较低，少数节点的度数非常高（“枢纽”节点）。
- 枢纽节点：这些高度连接的节点在网络中起到关键作用，能够快速传播信息或影响。
2.2 无标度网络的生成模型
- Barabási-Albert模型：通过“优先连接”机制生成无标度网络。新加入的节点更倾向于连接到已经高度连接的节点。
2.3 无标度网络的应用
- 互联网：互联网的链接结构近似于无标度网络，少数网站拥有大量的链接。
- 社交网络：社交网络中的“影响力人物”类似于无标度网络中的枢纽节点。
3. 多重回归二次分配程序 (MRQAP)
3.1 为什么使用MRQAP？
- 观测依赖性：在社交网络中，观测数据（如节点之间的关系）通常不是独立的，传统的回归方法（如OLS）无法处理这种依赖性。
- MRQAP的优势：通过置换节点来生成随机数据集，从而估计标准误差，解决了观测依赖性问题。
3.2 MRQAP的基本思想
- 置换节点：通过置换节点的位置来生成多个随机数据集，保持网络结构不变。
- 生成零分布：通过多次置换生成一个零分布，用于比较实际观测值与随机分布。
3.3 MRQAP的应用
- QAP相关性：用于检验两个网络矩阵之间的相关性。
- QAP回归：用于检验一个网络矩阵是否能够预测另一个网络矩阵。
4. 任务总结
4.1 任务1：数据读取与格式转换
- 目标：读取数据并将其转换为适合分析的格式。
- 常见方法：使用
igraph包读取邻接矩阵或边列表，或直接从GML文件读取数据。
4.2 任务2：处理孤立节点和多组件
- 目标：识别并处理网络中的孤立节点和多组件。
- 常见方法：使用
igraph::components()函数计算网络的组件，或使用sna::isolates()函数识别孤立节点。
4.3 任务3：网络密度与描述性统计
- 目标：报告并解释网络的密度，创建包含进一步描述性统计的表格。
- 常见方法：计算平均度数、标准差、互惠性和传递性等指标。
4.4 任务4：度数分布图
- 目标：创建度数分布图，并解释观察到的分布。
- 常见方法：使用直方图或密度图展示度数分布。
4.5 任务5：节点级变量的描述性统计
- 目标：创建包含节点级变量描述性信息的表格。
- 常见方法：计算均值、中位数、标准差等统计量。
4.6 任务6：网络可视化
- 目标：根据节点变量或中心性度量对网络进行可视化。
- 常见方法：使用
igraph或ggraph包进行网络可视化，并根据节点属性着色。
4.7 任务7：同配性检验
- 目标：检验网络的同配性，并解释结果。
- 常见方法：使用
assortativity()函数计算同配性系数。
4.8 任务8：网络鲁棒性测量
- 目标：提出一种测量网络鲁棒性的方法，并论证其有用性。
- 常见方法：通过节点或边的移除来模拟网络的脆弱性，或考虑平均路径长度的变化。
5. 拓展知识
5.1 小世界网络与随机网络的比较
- 随机网络：随机网络的聚类系数较低，平均路径长度较短。
- 小世界网络：小世界网络具有较高的聚类系数和较短的平均路径长度，介于规则网络和随机网络之间。
5.2 无标度网络与随机网络的比较
- 随机网络：随机网络的度分布近似于正态分布，几乎没有枢纽节点。
- 无标度网络：无标度网络的度分布遵循幂律分布，存在少数高度连接的枢纽节点。
5.3 MRQAP与传统回归的比较
- 传统回归：假设观测数据是独立的，无法处理社交网络中的依赖性。
- MRQAP：通过置换节点生成随机数据集，解决了观测依赖性问题，适用于社交网络分析。
社会网络分析第4周内容分析
第4周的内容主要围绕小世界网络、无标度网络和多重回归二次分配程序（MRQAP）展开。这些内容不仅涉及社会网络的基本概念，还牵涉到一些重要的数学原理。以下是对这些内容的详细分析，特别是其中涉及的数学原理。
1. 小世界网络 (Small Worlds)
1.1 小世界现象
小世界现象的核心是短平均路径长度和高聚类系数。这两个特性使得网络既具有局部紧密连接的特性，又具有全局的快速连通性。
涉及的数学原理：
平均路径长度：网络中任意两个节点之间的最短路径的平均值。公式为：
L = \frac{1}{n(n-1)} \sum_{i \neq j} d_{ij}
其中，(d_{ij}) 是节点 (i) 和节点 (j) 之间的最短路径长度，(n) 是网络中的节点数。聚类系数：衡量网络中节点的邻居之间是否也相互连接。局部聚类系数 (
C_i) 定义为:C_i = \frac{2 \cdot \text{实际存在的边数}}{k_i (k_i - 1)}
其中，(k_i) 是节点 (i) 的度数。全局聚类系数是网络中所有节点局部聚类系数的平均值。
小世界网络的数学特性：
- 短路径：小世界网络的平均路径长度
L与网络规模n的关系为：L \sim \frac{\ln n}{\ln k}
其中，k是节点的平均度数。 - 高聚类：小世界网络的聚类系数 (C) 远高于随机网络，通常接近规则网络的聚类系数。
2. 无标度网络 (Scale-Free Networks)
2.1 无标度网络的特征
无标度网络的核心特征是度分布遵循幂律分布，即网络中大部分节点的度数较低，少数节点的度数非常高（“枢纽”节点）。
涉及的数学原理：
幂律分布：无标度网络的度分布
P(k)满足：P(k) \sim k^{-\gamma}
其中，\gamma是幂律指数，通常在 2 <\gamma< 3 之间。幂律分布的特点是“长尾”，即存在少数高度连接的节点。优先连接机制：Barabási-Albert模型通过优先连接生成无标度网络。新节点连接到已有节点的概率与已有节点的度数成正比：
\Pi(k_i) = \frac{k_i}{\sum_j k_j}
其中，k_i是节点i的度数。
无标度网络的数学特性：
- 枢纽节点：由于幂律分布的存在，无标度网络中存在少数高度连接的节点，这些节点在网络中起到关键作用。
- 鲁棒性与脆弱性：无标度网络对随机节点失效具有鲁棒性，但对枢纽节点的攻击非常脆弱。
3. 多重回归二次分配程序 (MRQAP)
3.1 MRQAP的基本思想
MRQAP用于分析网络数据中的依赖性问题。传统的回归方法假设观测数据是独立的，但在网络数据中，节点之间的关系通常不是独立的。MRQAP通过置换节点来生成随机数据集，从而解决依赖性问题。
涉及的数学原理：
置换检验：MRQAP通过置换节点来生成多个随机数据集，保持网络结构不变。具体步骤如下：
- 对网络中的节点进行随机置换，生成一个新的网络矩阵。
- 计算置换后的网络矩阵与原始网络矩阵之间的相关性或回归系数。
- 重复多次，生成一个零分布。
- 将实际观测值与零分布进行比较，计算显著性水平。
QAP相关性：用于检验两个网络矩阵之间的相关性。公式为：
1
r = \frac{\sum_{i,j} (X_{ij} - \bar{X})(Y_{ij} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum_{i,j} (X_{ij} - \bar{X})^2 \sum_{i,j} (Y_{ij} - \bar{Y})^2}}
其中，(
X_{ij}) 和 (Y_{ij}) 是两个网络矩阵的元素，(\bar{X}) 和 (\bar{Y}) 是它们的均值。QAP回归：用于检验一个网络矩阵是否能够预测另一个网络矩阵。公式为：
Y_{ij} = \beta_0 + \beta_1 X_{ij} + \epsilon_{ij}
其中，(\beta_0) 和 (\beta_1) 是回归系数，(\epsilon_{ij}) 是误差项。
MRQAP的数学特性：
- 解决依赖性问题：通过置换节点，MRQAP能够生成一个零分布，用于比较实际观测值与随机分布，从而解决网络数据中的依赖性问题。
- 非参数检验：MRQAP是一种非参数检验方法，不依赖于数据的分布假设。
4. 总结
第4周的内容涉及了以下数学原理：
- 图论：小世界网络和无标度网络的分析基于图论中的路径长度、聚类系数和度分布等概念。
- 概率论：无标度网络的生成模型（如Barabási-Albert模型）涉及概率论中的优先连接机制。
- 统计推断：MRQAP通过置换检验和回归分析来解决网络数据中的依赖性问题，涉及统计推断中的非参数检验方法。
这些数学原理为理解小世界网络、无标度网络和MRQAP提供了理论基础，同时也为实际的社会网络分析提供了有力的工具。